Questa è un'antica edizione degli Elementi di Euclide ed è qui che cominciamo a sentire i primi odori della sezione aurea. La proposizione 11 del libro II recita così: "Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l'intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore", ovvero come trovare la Sezione Aurea di un segmento, cioè la parte media proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.  

La costruzione è tra le più classiche della Geometria: dato il segmento AB tracciare il cerchio di pari diametro e tangente ad esso in B, quindi la secante per A passante per il centro C del cerchio. La parte esterna della secante (AE) è la sezione aurea del segmento, essendo la tangente (AB) media proporzionale tra l'intera secante (AD) e la sua parte esterna (AE), essendo ED = AB e per alcune proprietà delle  proporzioni:

Volendo invece trovare quel segmento di cui un dato segmento AB sia la Sezione Aurea, si procede nel modo seguente:

    trovare il punto medio M del segmento dato;

    costruire il quadrato sul segmento dato; siano C e D gli altri due vetrici;

    centrato in M tracciare il cerchio con raggio MC (= MD), che interseca in S il prolungamento di AB.

AS è il segmento cercato, di cui AB è la Sezione Aurea.

Infatti i triangoli CAS e SBD sono simili perché rettangoli e con gli angoli a ed a’ uguali (essendo uguali i loro complementari b e b’, angoli alla circonferenza che sottendono lo stesso arco DS); quindi i cateti sono in proporzione:

  Ma cosa ha di così importante questa sezione per meritarsi l'aggettivo "Aureo"? Lo scopriremo attraverso le sue proprietà. Restando nella Geometria ne ricaviamo immediatamente una: «Ogni segmento è sezione aurea della sua somma con la sua sezione aurea»; ed in effetti questo è quanto sopra si è dimostrato. Ne segue che: «Tolta la sezione aurea, la parte rimanente di un segmento è la sezione aurea della sezione aurea del segmento».  E’ come se la sezione aurea si autorigenerasse per sottrazione o addizione.

Ma scopriamone altre caratteristiche. Sempre in Geometria una delle più importanti caratteristiche della Sezione Aurea è la seguente: "Se in un triangolo isoscele la base è la sezione aurea del lato, allora l’angolo al vertice è un quinto dell’angolo piatto, ovvero la base è il lato del decagono regolare inscritto nel cerchio che ha per raggio il lato". Sorvoliamo sulle dimostrazioni (che sono abbastanza semplici e reperibili su qualsiasi libro di geometria) e proseguiamo: collegando alternativamente i vertici del decagono si ottiene il pentagono regolare inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali dallo stesso vertice, essendo l’angolo alla circonferenza metà di quello al centro di  2p/5, si ripropone con il lato opposto al vertice il triangolo isoscele con angolo al vertice di p/5; ne segue che in un pentagono regolare il lato è la sezione aurea della diagonale. Si può altresì dimostrare che le diagonali si intersecano secondo le loro sezioni auree. Per questi motivi alla stella a cinque punte disegnata dalle diagonali di un pentagono venivano riconosciuti poteri magici.

Consideriamo ora il triangolo isoscele con angolo al vertice di p/5: un triangolo di tal genere viene definito come triangolo aureo poiché tracciando la bisettrice di un angolo alla base questa interseca il lato opposto in un punto che lo divide nel Rapporto Aureo e si determina così un secondo triangolo simile al primo; con la stessa operazione su questo secondo si può determinare un terzo triangolo simile al secondo e così via ottenendo triangoli sempre più piccoli ma sempre simili tra loro. In modo analogo prolungando la base per un tratto uguale al lato e congiungendo l’estremo con il vecchio vertice, si ottiene un nuovo triangolo maggiore del primo e ad esso simile, sul quale si può operare la stessa costruzione per ottenere un triangolo ancora più grande ma ancora simile ai precedenti e così via ottenendo triangoli sempre più grandi.

I punti "aurei", cioè i punti di intersezione delle bisettrici dell'angolo di base con il lato opposto, si trovano tutti lungo una curva denominata spirale logaritmica. La stessa cosa accade con un rettangolo aureo che, ricordiamo, è tale se il lato minore è sezione aurea di quello maggiore. La spirale logaritmica è una delle curve più famose e fu forse considerata già dagli antichi egizi; lo fu certamente dagli antichi greci, ma occorre attendere il 17° secolo per una prima rigorosa definizione ed un approfondito studio delle sue proprietà. Si deve a Descartes, nel 1638, una prima definizione. Qualche anno dopo Torricelli la studiò scoprendone una delle più sorprendenti caratteristiche: sebbene la curva compia infinite evoluzioni intorno al suo polo d’origine, la lunghezza dell’arco di curva da ogni punto fino all’origine è finita. Ma più di tutti l’ammirò Jacob Bernoulli definendola "Spira mirabilis" e che se la fece scolpire sulla sua tomba insieme alla frase "Eadem mutata resurgo". Si nota che la curva esegue infinite evoluzioni intorno al suo polo sia verso l'infinitamente grande che verso l'infinitamente piccolo.

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