Breve introduzione al mondo frattale

Un po' di tempo fa, Aristotele pensava che, per quel che riguarda le grandezze, "...quella che ha una dimensione è linea, quella che ne ha due è superficie, quella che ne ha tre è corpo, e al di fuori di queste non si hanno altre grandezze...".

Un autentico artigiano della scienza, qualche tempo dopo, vide nella matematica la chiave di volta per interpretare il mondo: "...il libro della natura e' scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto..." Galileo Galilei "Il Saggiatore".

"Why is geometry often described as 'cold' and 'dry'? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastiline, or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line..." ⁽³⁾

Dalla fine del XIX secolo la scienza si è orientata verso lo studio di sistemi complessi: basti pensare allo sviluppo eccezionale che ha avuto la teoria quantomeccanica o quella della relatività. Queste due teorie dimostrano come la ricerca (anche grazie a metodi e modelli matematici, a strumenti potentissimi e a livelli di astrazione mai raggiunti fino al XX secolo) non sia più legata all'immediata comprensibilità da parte dell'uomo.

Per quanto riguarda l'unificazione delle forze, l'ultima frontiera della fisica sembra essere la ricerca della prova che materia, energia, spazio e tempo siano generati da vibrazioni delle supercorde, cioè oggetti indivisibili a 10 dimensioni.

Grazie alla teoria relativistica abbiamo molte più informazioni sull'Universo di quante potessimo ricavarne dalla fisica classica ma, nonostante i grandiosi progressi fatti, oggi, scoprire le leggi fondamentali e comprendere "in principio" la struttura del mondo non sembra essere possibile poichè il traguardo viene continuamente ed inesorabilmente spostato in avanti. La sola esplorazione dell'infitamente grande o dell'infinitamente piccolo non è più sufficiente. Sempre più importante diventa investigare sul complesso delle molteplici forme attraverso le quali si manifestano i principi che regolano i rapporti tra le "cose": se ci è impossibile, al momento, comprendere la causa, possiamo tentare di spiegare e capirne l'effetto e pervenire, per strade diverse, alla causa stessa.

Per tentare di capire, di comprendere l’intima essenza, si tentano delle “semplificazioni” ed ogni qualvolta sembra finalmente colto il “termine ultimo” (o primo) ecco che questo si apre in un nuovo infinito microcosmo.

Questa tendenza alla complessità, può essere bene esemplificata appunto dai frattali, figure geometriche complesse e caotiche determinate per approssimazione di una funzione ricorsiva: noi non potremo mai sapere come sia la figura finale che ha le proprietà di un frattale, ma dovremo limitarci ad un'approssimazione, che può essere indicativa ma non è il frattale. È la stesso problema che si verifica nei sistemi cosiddetti "non lineari": non è possibile determinare la situazione finale date solo le condizioni di partenza, ma bisogna continuamente aggiungere dati "sperimentali". Queste problematiche hanno dato l'avvio allo studio del "caos deterministico", cioè di situazioni di disordine ottenute però da processi matematico-fisici deterministici.

Tuttavia con lo sviluppo continuo ed esponenziale della capacità di calcolo, si possono creare figure che hanno la stessa valenza matematica per la rappresentazione del frattale vero e proprio come lo ha una linea su un foglio per la rappresentazione di una retta.

I frattali erano già stati studiati per le loro proprietà topologiche da Gaston Maurice Julia ⁽¹⁾ negli anni '20, ma non erano mai stati visualizzati graficamente, né si sapeva come potesse essere la forma dei "bacini di attrazione" di una funzione che veniva continuamente iterata con se stessa.

Tutto quello che è mancato a Julia è stata la capacità di calcolo che ha invece avuto B. B. Mandelbrot ⁽²⁾ circa vent’anni fa al centro "T. J. Watson" dell'IBM.

Riuscire a visualizzare questi strani oggetti matematici e associarli a forme presenti in Natura, ha determinato il successo di Benoit Mandelbrot; questa associazione sembra quasi svelare che un'entità superiore abbia creato la Natura realizzando un suo progetto per via matematica.

Questo approccio ai frattali prende il nome di I.F.S. (Iterated Function System) ed è una tecnica messa a punto da Michel Barnsley, matematico dell'Istituto di tecnologia della Georgia ad Atlanta. Il sistema escogitato da Barnsley permette di traslare, ruotare e scalare le coordinate X e Y di un punto dello schermo, in un nuovo punto, X_new Y_new applicando a delle matrici i seguenti calcoli: (X_new = a(h)*x + b(h)*y +e(h)) e (Y_new = c(h)*x + d(h)*y +f(h)). I parametri a, b, c, d, producono una rotazione e la loro grandezza determina il cambiamento di scala, mentre i parametri e, f sono responsabili della traslazione lineare del punto in esame, mentre h è il numero della matrice.

Nella fisiologia umana possiamo individuare strutture riconducibili ai frattali: tra queste, i vasi sanguigni, le fibre nervose e le strutture canalizzate.
Da studi e misurazioni effettuati sul polmone umano e di altre specie di mammiferi è risultato che dette misurazioni mostrano i rapporti tipici di oggetti frattali. Anche se i vari organi assolvono a funzioni differenti, la loro struttura frattale consente di comprimere nel minimo spazio grandi capacità di estensione: se si pensa che la capacità respiratoria di un animale è direttamente correlata alla superficie dei suoi polmoni, e che questi, in un individuo normale, occupano uno spazio grande quasi come un campo da tennis, si comprende quanto efficace sia stata la scelta "frattale" fatta dalla natura per lo sviluppo dei nostri organi.

Il feto, secondo un’ipotesi ormai accreditata presso molti studiosi, sembra seguire una dinamica frattale nel suo processo di sviluppo e, inoltre, come non pensare ai frattali quando si guarda la doppia elica dei filamenti del DNA presente in ogni parte del nostro corpo?

Nel nostro universo, quello della relatività, delle iperconnessioni e della pluridimensionalità, sostanzialmente diverso da quello conosciuto e compreso da Isacco Newton, si apre una nuova prospettiva, un nuovo modo di leggere e spiegare le “cose”, un nuovo linguaggio ed un nuovo modello tutto da indagare. Che sia il mondo frattale?

(1) -  G. M. Julia (1893-1978) fu un matematico francese. Combatté nella I guerra mondiale e venne gravemente ferito in un attacco mentre si trovava al fronte, subendo l'asportazione totale del naso. Passò quindi il resto della sua vita con una benda nera in mezzo al volto. Tra un'operazione e l'altra continuò le sue ricerche in ospedale. In seguito diventò professore all'Ecole Politechnyque di Parigi. Nel 1918 pubblicò una fondamentale memoria dal titolo "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles", sull'iterazione di una funzione razionale. In questo lavoro Julia descrisse l'insieme J(f) (ora chiamato insieme di Julia). Sebbene negli anni '20 egli fosse famoso il suo lavoro fu sostanzialmente dimenticato fino a quando non fu ripreso da Mandelbrot.

(2) -  B. B. Mandelbrot. Nato a Varsavia da una famiglia di ebrei lituani, nel 1936 si trasferì in Francia, ed un suo zio, insegnante di matematica, si occupò della sua educazione. Benoit Mandelbrot sviluppò la capacità di visualizzare problemi di ogni genere soprattutto attraverso un approccio geometrico, che gli ha permesso di intuire in modo unico alcuni aspetti della realtà, magari già affrontati, ma lasciati cadere. Nel 1958 si trasferì definitivamente negli Stati Uniti, iniziando la sua lunga e fruttuosa collaborazione con l'IBM. Si trovò infatti in un ambiente che gli permise di affrontare problemi in diversi settori, con un'autonomia che nessuna Università, forse, gli avrebbe consentito. Avuto contatto con le idee di Gaston Julia le sviluppò e le rese celebri attraverso uno dei primi programmi di grafica al computer. Il suo lavoro fu pubblicato nel libro Les objets fractals, forn, hasard et dimension (1975) e più compiutamente nel libro The fractal geometry of nature (1982) Fu lo stesso Mandelbrot a creare il nome frattale nel 1975, quando, cercando per l'appunto un nome che potesse descrivere i suoi oggetti, sfogliando il vocabolario di latino del figlio, s'imbatté nell'aggettivo fractus, che, per la sua risonanza con parole come frattura e frazione, sembrò adattissimo allo scopo. Il successo fu travolgente. Oggi i frattali irrompono in ogni campo: suscitano l'interesse degli scienziati e la curiosità del grande pubblico, al punto che oggetti frattali si trovano comunemente in vendita. Mandelbrot sostiene che le proprietà frattali da lui scoperte sono presenti quasi universalmente in natura. Secondo il suo punto di vista, oggi condiviso da molti studiosi, i modelli storici della matematica e della fisica usati per descrivere la Natura sono incompleti: la Natura è frattale! Ha ricevuto numerosi riconoscimenti e premi per la sua opera.

(3) -  Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi...

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Fonti: T. Terragni, E. Argenti e T. Bientinesi